Funciones

Función matemática o simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado en matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa.

Vamos a comenzar el estudio de las funciones dando su definicion actualmente aceptada, relativamente moderna para la importancia del concepto. Para ello, necesitamos conocer primero lo que es una aplicación.

Una aplicación. Es una ley de asignación entre dos conjuntos, que pueden ser numéricos o no.

Usaremos la flechaà para indicar el sentido de la aplicación, es decir, cuál es el conjunto origen y Cuál el destino. Lo denotaremos:

S: X à Y

Con ello queremos expresar que la aplicación s asocia o relaciona los elementos de X (origen) con los elementos de Y (destino).

S: X (Y aplicación

X       Y

1       A

2      B

3      C 

4       D

En este ejemplo, la aplicación relaciona los elementos de X (números) con los de Y (letras). Las flechas indican los elementos emparejados entre sí:

S: 1 àbà2 àc 3à d 4à b

También se puede expresar la aplicación como conjunto de pares: s = {(1, b) (2,c) (3,d) (4,b)} con el criterio de que el primer valor de cada par pertenece al conjunto origen y el segundo valor del par pertenece al conjunto destino.

Los elementos del conjunto de partida X se llaman orígenes y los del conjunto de llegada Y se llaman imágenes.

Una aplicación debe entenderse como cualquier ley que asocie elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto, sin más

Condiciones. Este concepto debe refinarse hasta llegar al de función matemática.

Funciones: es una aplicación entre dos conjuntos numéricos de forma que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto:

F: X àY

X -> y = f(x)

Al conjunto X se le llama Dominio y al conjunto Y se le llama Imagen.

Se debe cumplir:

a) Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y

b) A cada elemento x € X le corresponde un único elemento y € Y

A la variable x se le llama variable independiente, mientras que a la variable y se le denomina variable dependiente.

Si dos elementos x e y están relacionados por la función f, tenemos que y = f(x)

F(x) = y -> diremos que y es la imagen de x o que x es la antiimagen de y

Las imágenes son elementos del conjunto imagen. Las antiimágenes son elementos del dominio

Ejemplo:

Supongamos una función f que a cada x le hace corresponder su cuadrado:

X àf (x)= x2

(F (2) = 22 = 4

-----------------------------------

(F (3) = 32 = 9

Entonces:

4 es la imagen de 2 por la función f <- -> 2 es la antiimagen de 4

9 es la imagen de 3 por la función f <- -> 3 es la antiimagen de 9

Dominio y rango de una función

                El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCION

            Fundamentalmente, existen 3 formas de expresar una función: por medio de una tabla de valores, una gráfica o por una fórmula (también llamada

Ecuación). Cada una de ellas tiene sus ventajas e inconvenientes, pero podemos avanzar que la fórmula es la mejor forma de expresar la función, ya

Que con ella podemos obtener las otras dos expresiones mediante una serie de procedimientos establecidos.

Clasificación de las funciones

Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómicadefinida como

En donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

Raíces

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales. Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: X y Y, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como Δ b2 - 4ac.

Representación Analítica

Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.

Forma desarrollada

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

Forma Factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

Siendo a el coeficiente principal de la función, y X1 y X2 las raíces de . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces X1=X2por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a X1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma Canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

Función Exponencial

Es el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Representación Gráfica De La Función Exponencial

Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función y = ax:

A) a > 1

En este caso, para x = 0, y = a° = 1

Para x = 1, y = a¹ = a

Para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la función y = 2x.

B) a < 1

Para x = 0, y = a° = 1

Para x = 1, y = a¹ = a

Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la función y = (1/2)x.

Función Logarítmica

El logaritmo de un número  en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicaciónla división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversade b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.

log b X= n <--> x = bn

(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; sí y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base btiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y npuede ser cualquier número real (n ∈ R).

Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

Propiedades Generales

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.

Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 <  a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenecer al intervalo 0 <  a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).

Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a lafórmula de Euler.

Función Lineal

una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

f(x) = mx

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

Cuando b es distinto de cero.

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

y=m x+b

Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x, y.

Funcion Raiz Enezima

En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que bn=a, donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:

y = N raiz de X= X elevado 1/n.

Para toda n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:

.

Dentro de los números reales |R+ positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar. La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.

Dentro de los números complejos c, para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: raiz de X en vez de 2 raiz de X.La raíz de orden tres se llamaraíz cúbica.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo yexponencial:

N raiz de X= expo (ln x/ n)= e ln x/n .

Propiedades

Como se indica con la igualdad la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, laspropiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.

Ejemplo

si 3 y 4

4 raiz de X a la 3= X 3/4                                                 

Función Racional

Las funciones racionales que  son  expresiones que tienen forma  parecida a los números racionales o fraccionarios, como también se les conoce,  un numerador y un denominador,  en el caso que vamos a estudiar estos términos serían  funciones. También se les conoce como funciones polinómicas porque sus términos son polinomios. Atendiendo a estos señalamientos la función racional se expresa de la siguiente manera:

F(x) =

G(x)

Con h(x) ≠ 0

H(x)

Estudiemos dos de  de las más usuales:

1. Función  donde el numerador es una constante y el  denominador  un monomio de grado 1.

Ejemplo: f(x) =

1

Con x ≠ 0

x

Es una función racional, debido a que su numerador es la función constante y su denominador es la función identidad.

2. Función  donde el numerador es una constante y el  denominador un binomio  de grado 1.

Ejemplo: f(x) =

2

Con x ≠ 3

x - 3

En este caso el valor 3 para x anula el denominador por lo que  f(x) existe para x diferente de 3.

Tanto el numerador como el denominador pueden ser cualquier polinomio, siempre y cuando no  existan valores para  la o las variables que anulen el denominador, es decir el denominador debe ser  diferente de cero.

Dominio y rango de la función racional.

a. El dominio de la función racional, está formado por todos los valores de “x” en donde la función esté definida.

Como la división por cero no está definida, se excluyen del dominio los valores de “x” que anulan el denominador.

En el ejemplo: f(x) =

1

Con x ≠ 0

x

Para hallar su dominio se excluyen los valores de x que anulen el denominador y para ello se iguala a cero este último.

Entre -∞  y  0 la curva  varía entre 0 y  −∞, es decir, cuando x se acerca a 0, f(x) se aproxima a -∞ y cuando x se aproxima a -∞ f(x) se acerca a 0, siendo ∞ el símbolo de infinito.

Entre 0 y +∞   la curva  varía entre 0 y  +∞, es decir, cuando x se acerca a 0, f(x) se aproxima a +∞ y cuando x se aproxima a +∞ f(x) se acerca a 0. 

Cuando la función toma el valor de cero, no existe; ya que la división por cero no está definida. Entonces el Dominio de esta función está formado por todos los números reales menos el cero, es decir Dom  f(x) = IR - { 0 }.

Propiedades

Toda función racional es de clase C infinito en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).

Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Función Inversa

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Sea f una función real inyectiva, se divide por 10 cuando cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J en imagen I definida por la siguiente regla:

f(x) = y <--> f -1(y)= X.

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

§   f -1 o f  = idi y

§    fo f -1 = idi j.

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.f

Notación

La notación tradicional f -1  puede ser confusa. Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

§   f*= B --> A como alternativa a f -1.

Propiedades algebraicas

Inversión del orden en la composición de funciones.

La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula

(g o f) -1= f -1 o g - 1

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,

Limite

En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que el una sucesión o una función tiene un límite sise puede acercar a un cierto número, que se llama el límite, tanto como queramos. Se usa el límite en cálculo(por lo que también se usa en el análisis real ymatemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a ∞.

Formalmente, se dice que la sucesión an tiende hasta su límite L, o que converge o es convergente (a L), y se denota como: 

lim an = L

n --> ∞

si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural n mayor que N converjan a L cuando n crezca sin cota.

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión o convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Propiedades de los límites

Límite de una constante

lim k = k

x -> a   

Límite de una suma

lim [f (x) + g (x)]= lim f (x) + lim g (x)

x -> a                    x -> a       x -> a

Límite de un producto

lim [f (x) . g (x)]= lim f (x) . lim g (x)

x -> a                    x -> a       x -> a

Límite de un cociente

lim[f (x)/ g (x)] = lim  f(x) / lim  g(x)  si lim g= 0

x ->a                  x ->a      x ->a

Límite de una potencia

lim [f(x)g(x)] = lim [f(x)]lim g(x)            si f > (0)

x ->a               x ->a      x ->a

Límite de una función

lim g[f(x)] = g lim f (x)

x ->a              x ->a 

Límite de una raíz

lim n raiz de f(x) =  n raiz de lim f (x)  si no es impar

x ->a                                    x ->a      si no es par f >(0) 

limite de un logaritmo.

lim [loga f(x) ]= loga [lim f (x)] si a>0 y f (x) > 0

x ->a                           x ->a 

Límites indeterminados

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

                  0   ∞        0     o       

 ∞-∞-0-∞;  0 ; ∞  ;  ∞   ; 0   ; ó 1∞

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1¥ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

Factorización

 En algebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños  (factores). (En el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomios conjugados (a - b)(a + b).

Tipos de factorización

ü  Factorización de dos cuadrados perfectos.

ü  Factorización de Suma o diferencia.

ü   Factorización de un trinomio de la forma X3+ax+b.

ü   Factorización por un Cuadrado de un binomio.

ü   Factorización de la forma de Cubo de un binomio.

ü   Factorización de la Suma por la diferencia de términos.

ü  Factor racionalizarte.

Derivada

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del calculo infinitesimal . El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del calculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa lasmatemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, delCálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y laSociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Newton y Leibniz

Artículos principales: Newton y Leibniz.

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.

Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos dy/dx y el símbolo de la integral l.